Chuyên đề hệ phương trình đối xứng (Phần 1- 2 - 3 - 4)

(Bài giảng chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Vũ Ngọc Vinh (trang riêng)
Ngày gửi: 23h:49' 20-10-2009
Dung lượng: 277.6 KB
Số lượt tải: 2406
Số lượt thích: 0 người

http://kinhhoa.violet.vn
CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Phần I.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
, trong đó 


Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện  Hệ phương trình trở thành:
.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với: 
Đặt  ta có:
.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện . Đặt , ta có:
 và .
Thế vào (1), ta được:

Suy ra:
.




II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và  (*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.

Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.


Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
.
GIẢI
Điều kiện  ta có:

Đặt ,  Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện  ta có .

Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt S = x + y, P = xy,  Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .

Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm.
GIẢI
Đặt  hệ trở thành:
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của  (*).
Hệ có nghiệm  (*) có 2 nghiệm không âm
.

Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
 (S = u + v, P = uv).
Điều kiện.


BÀI TẬP


Giải các hệ phương trình sau

1. . Đáp số: .
2. . Đáp số: .
3. . Đáp số: .
4. . Đáp số: .
5. . Đáp số: .
6. . Đáp số:
.
7. . Đáp số: .
8.  (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số: .
9. . Đáp số: .
10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình . Chứng minh .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình 

.
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
.
Đổi vai trò x, y, z ta được .
11. . Đáp số: .
12. 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1:

.
 thế vào (2) để giải.
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
.
Từ điều kiện  ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt .


Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
.
+ m = – 3: 
 (loại).
+ m = 21: 
 (nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Hệ có nghiệm thực dương .
Vậy .
3. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Suy ra  là nghiệm (không âm) của phương trình  (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm .
Vậy .
4. Tìm m để hệ phương trình  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi .
5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình . Tìm m để P = xy nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , điều kiện 


Từ điều kiện suy ra 
Xét hàm số .
Ta có 
Vậy .



http://kinhhoa.violet.vn
CHUYÊN ĐỀ
Phần II.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II


1. Dạng 1:  (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải chung

Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:


Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: .
Trừ (1) và (2) ta được:

.
Thay x = y vào (1), ta được:

 (nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:


+ 
+ 
+ 
+ 
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: .

Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: .
Trừ (1) và (2) ta được:
 (3)
Xét hàm số , ta có:
.
Thay x = y vào (1), ta được:

 (nhận).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình .
Giải
Xét hàm số .
Hệ phương trình trở thành .
+ Nếu (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu (mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: 
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có . Biến đổi:

Trừ (1) và (2) ta được:

Với 
Vậy hệ có 1 nghiệm .

2. Dạng 2: , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung

Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện: . Ta có:

+ Với y = x: .
+ Với : (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng  với hàm f đơn điệu.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
 (3).
Xét hàm số .
Suy ra .
Thay x = y vào (2), ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Chú ý:
Cách giải sau đây sai:.
Giải
Điều kiện: .
Xét hàm số .
Suy ra !
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).


BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1) . Đáp số: .
2) . Đáp số: .
3) . Đáp số: .
4) . Đáp số: .
5) . Đáp số: .
6) . Đáp số: .
7) . Đáp số: . 8) . Đáp số: .
9) . Đáp số: .
10) . Đáp số: .
11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003) .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 

+ Với : (2) 
+ Với 
Xét hàm số 
  vô nghiệm.
Cách khác:
+ Với .
+ Với .
Suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
12) 
Hướng dẫn giải
Trừ (1) và (2) ta được:

Xét hàm số .

Xét hàm số  (4) có không quá 1 nghiệm.
Do  Vậy hệ có 1 nghiệm .





http://kinhhoa.violet.vn
Phần III.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN


3.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng giải được theo cách giải “quen thuộc”

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ  và  đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ  và  đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ  và  đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ  và  đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là  
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và nếu giải theo cách giải “quen thuộc” thì dẫn đến hệ phương trình rất phức tạp.
Dùng ẩn phụ  và  đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 

Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải được theo cách giải “quen thuộc” và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc”, khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện 
Cộng vế theo vế ta có  (*)
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có  và  nên . Do đó (*)  
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 
Bài toán này không thể giải quyết được theo phương pháp đánh giá như trên.
Giải. Điều kiện 
Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được :

trong đó  với  Dễ thấy  là hàm đồng biến trên khoảng  Vì thế 
Thay  vào phương trình  ta được  hoặc 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  và 

3.2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng

Ví dụ 8. Giải phương trình 
Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi tương đương.
Dùng ẩn phụ  và  đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là  và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
Ví dụ 9. Giải phương trình 
Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi trực tiếp.
Dùng ẩn phụ  đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là  và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
V